数学II・数学B 第1問 [2]

指数の問題って一見ややこしそうなんですが、ちょっと考えるとつまりは数Iの問題なんですな。簡単なので毛嫌いするのはやめときましょう。

[2] 実数x に対して， $y = 5\cdot 3^x + 2\cdot 3^{-x}$ ， $z = 5\cdot 3^x -2\cdot 3^{-x}$ とおくと

$\begin{displaymath}y^2 - z^2 = \mbox{[ キク ]}\end{displaymath}$

である。

もちろん真面目に計算しても良いです。ただy とz の形が意味ありげだと感じるとなお良いでしょう。

$\begin{eqnarray*}y^2 - z^2 & = & (5\cdot 3^x + 2\cdot 3^{-x})^2 - (5\cdot 3^x - ......\\& = & 4\cdot (5\cdot 3^x)\cdot (2\cdot 3^{-x})\\& = & 40\end{eqnarray*}$

z = 0 となるのは $\begin{displaymath}3^x = \sqrt{\frac{\mbox{[ ケ ]}}{\mbox{[ コ ]}}}\end{displaymath}$ のときであり，

計算式をスッキリさせるために

とおきます。指数問題解くときの常套手段ですね。このとき指数の性質から必ず

です。

$\begin{eqnarray*}5t - \frac{2}{t} & = & 0 \\5t & = & \frac{2}{t} \\t^2 & =......t & = & \pm \sqrt{\frac{2}{5}} \\t & = & \sqrt{\frac{2}{5}}\end{eqnarray*}$

y は

$\begin{displaymath}x = \frac{\mbox{[ サ ]}}{\mbox{[ シ ]}}(\log_3\mbox{[ ス]}-\log_3\mbox{[ セ ]})\end{displaymath}$

のとき最小値 $\mbox{[ ソ ]}\sqrt{\mbox{[ タチ ]}}$ をとる。

「y の最小値を求めるんやからy を微分してy' を求めて、それが0になるときの値を求めれば……」という考えは王道です。「最小値・最大値を求めるときは微分するんじゃ!」というポリシーは美しい。でも数学やるときはヘロヘロしてた方がいいときもあります。

の最小値を求める問題に帰着してます。しかも

だから

、 $\displaystyle{\frac{2}{t} > 0}$ も言えます。ということは「『相加・相乗平均』が使えるのだ」と気付くとすぐです。

$\begin{displaymath}5t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{5t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{10}\end{displaymath}$

等号成立は $5t = \displaystyle{\frac{2}{t}}$ のときですが、これは既に前の設問で求めてて $\displaystyle{t = \sqrt{\frac{2}{5}}}$ のときです。良くできてますね。

求められているのはx の値なので、 $\displaystyle{3^x = \sqrt{\frac{2}{5}}}$ のときのx を求めれば良いです。

$\begin{eqnarray*}3^x & = & \sqrt{\frac{2}{5}}\\x & = & \log_3 \sqrt{\frac{2}{......{2}\log_3 \frac{2}{5}\\& = & \frac{1}{2}(\log_3 2 - \log_3 5)\end{eqnarray*}$

さて、参考までに最小値を求める際の王道を突っ走ってみましょう。

$\begin{eqnarray*}y' & = & 5(3^x\log_e 3) + 2(-3^{-x}log_e 3) \\& = & log_e 3(5\cdot 3^x - 2\cdot 3^{-x}) \\& = & log_e 3\cdot z\end{eqnarray*}$

本当はy' = 0 でy 極大か極小になることしか解りません。でも今は、設問で最小値を問われてるんだから、y' = 0 でy は最小になるのだと盲信して突き進みます(y'=0 になる近辺でy' の符号を調べればこの盲信が正しいことが言えますがここでは省略します)。

でy' = 0 になるのはz = 0 になるときなので $\displaystyle{3^x = \sqrt{\frac{2}{5}}}$ のときだというのは同様に解ります。

あとは最小値を求めなくてはいけないので、この値をy に代入して

$\begin{eqnarray*}y & = & 5\cdot \sqrt{\frac{2}{5}} + 2\cdot \sqrt{\frac{5}{2}} \......frac{5\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{10}}{2} \\& = & 2\sqrt{10}\end{eqnarray*}$

「相加・相乗平均」に気付かなかったら微分してもいいですかね。そんなに手間は変わらない気もします。