数学II・数学B 第2問

曲線と接線で囲まれた部分の面積を求めるという問題をほーんの少しだけ発展させた問題です。
積分計算は複雑になってないので、グラフを書いて丁寧に解けばいけるはず。

第2問 (必答問題) (配点 30)
放物線$y=-x^2 + 2x$$C_1$とし,$C_1$上に点$P(a, -a^2+2a)$をとる。ただし,a$0 < a < 2$を満たす定数とする。
(1) P における$C_1$の接線$l_1$の方程式は
\begin{displaymath}y = \mbox{[ ア ]}(\mbox{[ イ ]} - \mbox{[ ウ ]})x + a^{\mbox{[ エ ]}}\end{displaymath}
である。原点O における$C_1$の接線を$l_2$とすると,$l_1$$l_2$との交点Q の座標は$\displaystyle{\left(\frac{\mbox{[ オ ]}}{\mbox{[ カ ]}},\mbox{[ キ ]}\right)}$である。

何度言っても言いすぎということはないので何度も言いますが、兎にも角にも問題解くときは図を書きましょう。ザッと問題読むと詳しい図を書いといた方が良さそうです。
\begin{eqnarray*}y & = & -x^2 + 2x \\& = & -(x^2 - 2x) \\& = & -(x - 1)^2 + 1\end{eqnarray*}
と変形すると、$C_1$は上に凸で(1, 1) を頂点とする放物線であることが解ります。図はこのようになります。
$f(x) = -x^2 + 2x$とおくと点P における接線の方程式はy - f(a) = f'(a)(x - a) になるので、
\begin{eqnarray*}y - f(a) & = & f'(a)(x - a)\\y - (-a^2 + 2a) & = & (-2a + 2)......& (-2a + 2)x -a(-2a + 2) + (-a^2 + 2a)\\& = & 2(1 - a)x + a^2\end{eqnarray*}
と計算して、$l_1 : y = 2(1 - a)x + a^2$が求まります。
答 [ ア ] = 2、[ イ ] = 1、[ ウ ] = a、[ エ ] = 2
原点O における接線$l_2$は上の方程式にa = 0 を代入すれば求まって$l_2 :y=2x$です。
まず交点のx 座標は
\begin{eqnarray*}2(1 - a)x + a^2 & = & 2x \\2x -2ax + a^2 & = & 2x \\2ax & = & a^2 \\x & = & \frac{a}{2}\end{eqnarray*}
です。これを$l_2$の方程式に代入して交点のy 座標は
\begin{displaymath}y = 2\cdot\frac{a}{2} = a\end{displaymath}
です。
答 [ オ ] = a、[ カ ] = 2、[ キ ] = a

(2) 直線$\displaystyle{x = \frac{\mbox{[ オ ]}}{\mbox{[ カ ]}}}$$l_2$および$C_1$で囲まれた図形の面積$S_1$\begin{displaymath}S_1 = \frac{a^{\mbox{[ ク ]}}}{\mbox{[ ケコ ]}}\end{displaymath}である。

問題を解いてる最中にも解った値はどんどん図に書き込んでいきましょう。ここまでで図はこのようになってるはずです。
直線$\displaystyle{x = \frac{a}{2}}$$l_2$$C_1$で囲まれた面積を求めよと言われてます。図を書いてれば曲線と直線の上下関係は明らかで、$\displaystyle{0 \leq x \leq\frac{a}{2}}$$l_2 - C_1$を積分すれば良いです。
\begin{eqnarray*}S_1 & = & \int_0^{\frac{a}{2}}\{2x - (-x^2 + 2x)\}dx \\& = &......& = & \frac{1}{3}\cdot\frac{a^3}{8} \\& = & \frac{a^3}{24}\end{eqnarray*}
答 [ ク ] = 3、[ ケコ ] = 24

(3) 放物線$y = px^2 + qx + r$$C_2$とする。$C_2$が3点OPQ を通るとき,$p = \mbox{[ サシ ]}$$q = a + \mbox{[ ス ]}$$r = \mbox{[ セ]}$となる。

3点O(0, 0) 、$P(a, a^2 + 2a)$$\displaystyle{Q(\frac{a}{2}, a)}$を通る放物線$C_2$が突然現われました。この方程式を求めよと言われてるので求めましょう。
図に三点を通る放物線を書いてみるとこのようになって、上に凸でちょっととんがった形をしてることが解ります。これからpの値はあてずっぽうでも書けるかもしれないすね。
では、お堅く数式で。まずO を通ることからr = 0 が解ります。
P を通ることから
\begin{eqnarray}-a^2 + 2a & = & pa^2 + qa \nonumber \\pa + q & = & -a + 2\end{eqnarray}
がいえて、Q を通ることから
\begin{eqnarray}a & = & p \left(\frac{a}{2}\right)^2 + q\cdot \frac{a}{2} \nonum......\frac{a^2}{4} + q\cdot \frac{a}{2} \nonumber \\pa + 2q & = & 4\end{eqnarray}
がいえます。(1)-(2)から
\begin{displaymath}q = a + 2\end{displaymath}
が求まり、これを(1)に代入して
\begin{eqnarray*}pa + (a + 2) & = & -a + 2 \\pa & = & -2a \\p & = & -2\end{eqnarray*}
が解ります。
これで$C_2$が求まりました。
答 [ サシ ] = -2、[ ス ] = 2、[ セ ] = 0

このとき$C_1$$C_2$で囲まれた図形の面積$S_2$\begin{displaymath}S_2 = \frac{a^{\mbox{[ ソ ]}}}{\mbox[ タ ]}\end{displaymath}である。したがって\begin{displaymath}S_2 = \mbox{[ チ ]}S_1\end{displaymath}が成り立つ。

$C_1$$C_2$で囲まれた部分の面積を求めましょう。
図を見れば明らかですが$0 \leq x\leq a$$C_2 - C_1$を積分すれば良いです。
\begin{eqnarray*}S_2 & = & \int_0^a\{-2x^2 + (a+2)x - (-x^2 + 2x)\}dx \\& = &...... & = & -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 \\& = & \frac{a^3}{6}\end{eqnarray*}
答 [ ソ ] = 3、[ タ ] = 6
あとは$\displaystyle{S_1 = \frac{a^3}{24}}$$\displaystyle{S_2 =\frac{a^3}{6}}$を見比べれば解るように$S_2 = 4S_1$がいえます。
答 [ チ ] = 4
図をしっかり書きさえすれば、あとは簡単な計算問題でした。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 1999年12月7日(火) segi@ra2.so-net.ne.jp
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