数学II・数学B 第3問

三角形の内部を動く点P の問題です。良い問題だと感じました。素直に解いてくといつの間にか解けてます。

第3問 (選択問題) (配点 20)
a を正の実数とする。三角形ABC の内部の点P
\begin{displaymath}5\vec{PA} + a\vec{PB} + \vec{PC} = \vec{0}\end{displaymath}
を満たしているとする。このとき
\begin{displaymath}\vec{AP} = \frac{\mbox{[ ア ]}}{a + \mbox{[ イ ]}}\vec{AB} +\frac{\mbox{[ ウ]}}{a + \mbox{[ エ ]}}\vec{AC}\end{displaymath}
が成り立つ。

P を始点としているベクトルをA を始点とするベクトルで書きかえます。この手の問題では必ず出題されます。計算するだけです。
\begin{eqnarray*}5\vec{PA} + a\vec{PB} + \vec{PC} & = & -5\vec{AP} + a(\vec{AB} ......} - \vec{AP}) \\& = & -(a + 6)\vec{AP} + a\vec{AB} + \vec{AC}\end{eqnarray*}
これが$\vec{0}$になるから
\begin{eqnarray*}(a + 6)\vec{AP} & = & a\vec{AB} + \vec{AC} \\\vec{AP} & = & \frac{a}{a + 6}\vec{AB} + \frac{1}{a + 6}\vec{AC}\end{eqnarray*}
となります。
答 [ ア ] = a、[ イ ] = 6、[ ウ ] = 1、[ エ ] = 6

直線AP と辺BC との交点D が辺BC を1:8に内分するならば,$a = \mbox{[ オ ]}$となり,$\displaystyle{\vec{AP}=\frac{\mbox{[ カ ]}}{\mbox{[ キク ]}}}$となる。このとき,点P は線分AD を[ ケ ]:[ コ ]に内分する。

この辺から図を書いた方が良いですね。問題に書かれた状況を図に表すとこうなります。
まず$\vec{AD}$を求めます。公式から一発で書けるはずですが、私は覚えてないので導出します。
\begin{eqnarray*}\vec{AD} & = & \vec{AB} + \frac{1}{9}\vec{BC} \\& = & \vec{A......- \vec{AB}) \\& = & \frac{8}{9}\vec{AB} + \frac{1}{9}\vec{AC}\end{eqnarray*}
で、$\vec{AP} = k\vec{AD}$だから両方の$\vec{AB}$$\vec{AC}$の係数を見比べて
\begin{eqnarray*}\frac{a}{a + 6} & = & \frac{8}{9}k \\\frac{1}{a + 6} & = & \frac{1}{9}k\end{eqnarray*}
が言えます。
二つ目の式から\begin{displaymath}k = \frac{9}{a + 6}\end{displaymath}で、これを一つ目の式に代入して
\begin{eqnarray*}\frac{a}{a + 6} & = & \frac{8}{9}\frac{9}{a + 6} \\\frac{a}{a + 6} & = & \frac{8}{a + 6}\\a & = & 8\end{eqnarray*}
が求まります。これで\begin{displaymath}k = \frac{9}{8 + 6} = \frac{9}{14}\end{displaymath}k も求まります。
答 [ オ ] = 8、[ カ ] = 9、[ キク ] = 14
$\displaystyle{\vec{AP} = \frac{9}{14}\vec{AD}}$が解れば、点PAD を9:5に内分することも解るでしょう。
答 [ ケ ] = 9、[ コ ] = 5

さらに,$\vert\vec{AP}\vert = 2\sqrt{2}$$\vert\vec{BC}\vert = \sqrt{10}$$\vert\vec{AC}\vert= \sqrt{6}$ならば
\begin{displaymath}\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \mbox{[ サ ]}\end{displaymath}
である。

\begin{displaymath}\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\vert\cos\angle BAC\end{displaymath}$\vert\vec{AB}\vert$$\vert\vec{AC}\vert$は与えられているので$\cos\angle BAC$が解れば良いです。
三辺の長さが与えられているので、これは余弦定理使えば求まりますね。
\begin{eqnarray*}AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC \cdot\cos\angle BAC & = & BC^2 ......2}{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}} \\& = & \frac{1}{\sqrt{12}}\end{eqnarray*}
したがって
\begin{eqnarray*}\vec{AB}\cdot\vec{AC} & = & \vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\ver...... = & 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{12}} \\& = & 2\end{eqnarray*}
となります。
答 [ サ ] = 2

したがって
\begin{displaymath}\vert\vec{AP}\vert^2 = \frac{\mbox{[ シスセ ]}}{\mbox[ ソタ ]}\end{displaymath}
となる。

$\vert\vec{AP}\vert^2$求めるのに必要な値は全てそろってるので計算するだけです。
\begin{eqnarray*}\vert\vec{AP}\vert^2 & = & \left\vert \frac{8}{14}\vec{AB} + \f......7^2} \\& = & \frac{275}{2\cdot 7^2} \\& = & \frac{275}{98}\end{eqnarray*}
答 [ シスセ ] = 275、[ ソタ ] = 98
何かこう変なクセがなくて解きやすいと感じたのは、私がベクトル好きだからでしょうか。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 1999年12月7日(火) segi@ra2.so-net.ne.jp
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