数学II・数学B 第4問

複素平面って昔は高校では教わらなかったんですよ。でも「それじゃあ困る」と大学の先生は嘆いてました。だから教わるようになったんでしょうか。

第4問 (選択問題) (配点 20)
実数係数の方程式
\begin{equation}x^2 + ax^2 + bx + c = 0\end{equation}
x = 2 を解にもつとする。このとき
\begin{displaymath}c = - \mbox{[ ア ]}a - \mbox{[ イ ]}b - \mbox{[ ウ ]}\end{displaymath}
であり
\begin{eqnarray*}\lefteqn{x^3 + ax^2 + bx + c} \\& = & (x - 2)\{x^2 + (a + \mbox{[ エ ]})x + \mbox{[ オ ]}a + b + \mbox{[ カ ]}\}\end{eqnarray*}
となる。

はじめは単純に数式の割算です。どうやっても解けます。
まず$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$とおくとf(x) = 0 がx = 2 を解に持つことから
\begin{eqnarray*}f(2) & = & 0 \\2^3 + a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c & = & 0 \\8 + 4a + 2b + c & = & 0 \\c & = & -4a - 2b -8\end{eqnarray*}
です。
答 [ ア ] = 4、[ イ ] = 2、[ ウ ] = 8
あとは左図のようにf(x) をx - 2 で割って
\begin{displaymath}x^3 + ax^2 + bx + c = (x - 2)\{x^2 + (a + 2)x + 2a + b + 4\}\end{displaymath}
が解ります。
答 [ エ ] = 2、[ オ ] = 2、[ カ ] = 4
とまあ最初はこう解いたんですが、x = 2 を持つという時点で組立除法を行なえば一気に解けると後から気付きました。
組立除法は左図のようになります。f(x) がx -2 を引数に持つことから4a + 2b + c + 8 = 0 が言えて、x - 2 で割った商が$x^2 + (a + 2)x + 2a + b +4$であることが解ります。

(1) の解を2,$\alpha$$\beta$とし,複素平面において3点2,$\alpha$$\beta$が正方形の異なる三つの頂点になっているとする。さらに,この正方形の一辺の長さが$5\sqrt{2}$で,$\alpha$$\beta$の実部が負であるならば,$\alpha$$\beta$
\begin{displaymath}\mbox{[ キク ]}\pm\mbox{[ ケ ]}i\end{displaymath}
である。このとき
\begin{displaymath}a = \mbox{[ コ ]},b = \mbox{[ サシ ]},c = \mbox{[ スセソ ]}\end{displaymath}
となる。

ここは公式とか何かはほとんど必要なくて、問題文を良く読んで頭働かせるとこです。
まず$\alpha$$\beta$についてです。2次方程式の異なる二つの虚数解は必ず$a\pm bi$の形になります。つまり$\alpha$$\beta$は複素平面上で実軸に対して対称な点になります。
さらに
との条件があれば$\alpha$$\beta$は左図の点でしかありえません。
答 [ キク ] = -3、[ ケ ] = 5
$5\sqrt{2}$$\sqrt{2}$が入ってるところで、正方形の対角線の長さだという匂いがプンプンですな。
あとは$\alpha$$\beta$を解に持つ二次方程式の係数を求めるだけです。
解と係数の関係から
\begin{eqnarray*}\alpha + \beta & = & -(a + 2) \\\alpha\beta & = & 2a + b + 4\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}-(a + 2) & = & (-3 + 5i) + (-3 - 5i) \\& = & -6 \\a & = & 4\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}2a + b + 4 & = & (-3 + 5i)\cdot(-3 - 5i) \\& = & (-3)^2 - (5......\b & = & 34 - (2a + 4) \\& = & 30 - 2\cdot 4 \\& = & 22\end{eqnarray*}
となります。c も簡単に
\begin{eqnarray*}c & = & -4a -2b -8 \\& = & -4\cdot 4 - 2\cdot 22 -8 \\& = & -68\end{eqnarray*}
と求まります。
答 [ コ ] = 4、[ サシ ] = 22、[ スセソ ] = -68
$\alpha$$\beta$を解に持つ2次方程式の係数を求めるときに、解と係数の関係を使わずに直接計算しても同じことです。
求める方程式は
\begin{eqnarray*}& & (x - \alpha)(x - \beta) \\& = & x^2 - (\alpha + \beta)x ...... (-3 - 5i)\}x + (-3 + 5i)\cdot(-3 - 5i) \\& = & x^2 + 6x + 34\end{eqnarray*}
これを$x^2 + (a + 2)x + 2a + b +4$と比較して
\begin{eqnarray*}a + 2 & = & 6 \\2a + b + 4 & = & 34\end{eqnarray*}
と解と係数の関係を用いたときと同じ式があらわれます。当り前ですね。
この問題は、複素平面に図を書いて、ちょっと頭を働かせて考えれば解けると感じました。いかがだったでしょう。

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 1999年12月11日(土) segi@ra2.so-net.ne.jp
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