数学II・数学B 第5問

簡単といえば簡単な問題。
計算に難しい部分は全くないので、場合の数を漏れなく数えあげることができるかどうかが問われますが、試験場のあの緊張した雰囲気の中でできますか?
他の二題も簡単なので、私ならこの問題は避けます。

第5問 (選択問題) (配点 20)
座標平面上に9個の点
\begin{displaymath}\begin{array}{lll}P_1(0,2) & P_2(1,2) & P_3(2,2) \\P_4(0,1......(1,1) & P_6(2,1) \\P_7(0,0) & P_8(1,0) & P_9(2,0)\end{array}\end{displaymath}
をとる。袋の中に$P_1$$P_2$$\cdots$$P_9$と書かれた9個の玉が入っている。
この袋から2個の玉を取り出すとき,取り出した2個の玉に書かれている2点に対し、その距離の2乗をX とする。
(1)X=1 となる確率は$\frac{\mbox{[ ア ]}}{\mbox{[ イ ]}}$である。

考えていきますか。何にせよ全ての場合の数が必要なので求めときます。9個の玉から2個の玉を取り出す方法は
\begin{displaymath}\mbox{}_9C_2 = \frac{9\cdot 8}{2\cdot 1} = 36\end{displaymath}
と36通りで、これが全ての場合の数です。
図1そのうちX が1となるのは図に示した12通りなので、求める確率は
\begin{displaymath}\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\end{displaymath}
です。
答 [ ア ] = 1、[ イ ] = 3

(2)X=5 となる確率は$\frac{\mbox{[ ウ ]}}{\mbox{[ エ ]}}$である。

図2X=5 となるのは$5=1^2+2^2=2^2+1^2$となるときなので、図に示す8通りになります。縦に長い対角線と横に長い対角線があるのがミソですか。
求める確率は
\begin{displaymath}\frac{8}{36} = \frac{2}{9}\end{displaymath}
になります。
答 [ ウ ] = 2、[ エ ] = 9

(3)X=8 となる確率は$\frac{\mbox{[ オ ]}}{\mbox{[ カキ ]}}$である。

図3X=8 となるのは$8=2^2+2^2$となるときなので、図に示す2通りになり、求める確率は
\begin{displaymath}\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\end{displaymath}
です。
答 [ オ ] = 1、[ カキ ] = 18

(4)確率変数X は[ ク ]通りの値をとり,その平均(期待値)は[ ケ ]であり,分散は[ コ ]である。
X は1、5、8以外にどんな値を取るかなあと考えてくとX=2 、X=4 という値を取ることが解ります。したがってX が取りうる値は1、2、4、5、8の5通り。
答 [ ク ] = 5
図4図から解るように、X=2 となるのは8通り、X=4 となるのは6通りになります。
ここまでで
\begin{displaymath}\begin{array}{rl}X = 1 & \mbox{12通り} \\X = 2 & \mbox{8通......} \\X = 5 & \mbox{8通り} \\X = 8 & \mbox{2通り}\end{array}\end{displaymath}
が解りました。場合の数を足し合わせてみると36で、全ての場合の数に一致します。これで漏れなく数えあげられたことが解ります。
さて期待値E(X) は
\begin{eqnarray*}E(X) & = & 1\cdot\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{2}{9} + 4\cdot\frac{......frac{3 + 4 + 6 + 10 + 4}{9} \\& = & \frac{27}{9} \\& = & 3\end{eqnarray*}
です。
答 [ ケ ] = 3
分散V(X) は
\begin{displaymath}V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\end{displaymath}
で求めることができるので、まず$E(X^2)$を求めます。
\begin{eqnarray*}E(X^2) & = & 1^2\cdot\frac{1}{3} + 2^2\cdot\frac{2}{9} + 4^2\cd......{3 + 8 + 24 + 50 + 32}{9} \\& = & \frac{117}{9} \\& = & 13\end{eqnarray*}
したがって
\begin{displaymath}V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 13 - 3^2 = 4\end{displaymath}
です。
答 [ コ ] = 4

せぎてつ伝言板
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最終更新日 : 1999年12月12日(日) segi@ra2.so-net.ne.jp
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